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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 (/>0ogKC3  
K_LOWADi  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. D[$0e{Tn  
YK= hB3D  
　　1、三角函数本质： },=i}/Q#  
ii*c,^-  
　　三角函数的本质来源于定义 :$oc2?%*:  
<XQQlb  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 _v^LI7\ A}  
E8.r  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 xl*(F0}z0  
3*OWEM<^  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例：  AW48o  
es H{_"y  
　　推导：  O| 8-Q{  
xb0)l|h  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 (?Oi1b-  
e`Y38*(a<  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β))  Sbwtc   
w,- K  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) YIVxV@|  
@o2'lh6BK  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 M)"cFJ=W  
E}"v4p=O  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） 4%#b ^2z?  
)jRI/{A  
　　[1] I"kX8 m  
BH:|u9)  
　　两角和公式 *7 J:`*9  
E#N&H Ot0q  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB N:`OR  
`N`J5**s  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  RX-Fo0LO`-  
$H :)[l(c  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 7#!sHl= tN  
1vt">43D*  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB /;97Ue5Pm-  
A O3gr  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) lHwdWC9/  
)8}nYV   
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 7:4hbw#  
4xJGtCh  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  C9*)WY   
+ce@,xr_S  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) z^jy yM(  
,05'E 3  
倍角公式 07]!Ei  
noGnJb@>=  
　　Sin2A=2SinA•CosA OZ_f4)KM  
b%1MZ[]<  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 `+t$&B  
qPQ=NA8>  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） e*J'P$^>  
AdVO\1gPq  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） i4Jk99jJ  
k3aV-O!A5  
三倍角公式 Gx_K(HX  
0 JR1? 8w]  
　　 |b}n&P;_  
Ek[,sbs0  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) =1yBp  
f3*xoe8z  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) ^&!%N%  
l]CXk3Z  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) %M'M(y  
,R<jKQ x%  
三倍角公式推导 MFyPP;lsa  
,u[3h  
　　sin3a bS/-kR<  
?$2H]I2EP  
　　=sin(2a+a) 8~zri' `  
W9p=y3ed{  
　　=sin2acosa+cos2asina uD-_, ~,D  
PnSbBAfF  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina rciw%;vD  
%##>5yZ}D\  
　　=3sina-4sin³a a:l[^,  
N2<G$  
　　cos3a rU8#Sd)dV  
0|.^ =t~  
　　=cos(2a+a) Fy-d?ZV  
LGUrQ&m>  
　　=cos2acosa-sin2asina Er``w S  
0>jv MYb  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa K(-|rah  
DMs YU,  
　　=4cos³a-3cosa Vqn*f[x#y!  
_B<-i3!  
　　sin3a=3sina-4sin³a !Odg,%5o  
[4m(+b(['k  
　　=4sina(3/4-sin²a) pV= `Io  
r] sYrO9U  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] o4waB[6  
m +y?[/   
　　=4sina(sin²60°-sin²a) y8ye{yq?>  
TF-Yn5?TMY  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) kf 3x-o  
Z<Aku,%*  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] V'!I.uWw  
g#Lu;0  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) w`*l\b  
pR-R=  
　　cos3a=4cos³a-3cosa mn@  
E@)%>W?  
　　=4cosa(cos²a-3/4) GNbBA5q  
Hx6@*;"N$r  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 1"x x Qs[  
U50~ara  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) 0!@W'6j1  
7v]VLR&  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) Ru7y;VYPr  
Gr!uV5_p;  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} M<"NGA_'-  
H?@coqss  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) X}   
=:t/W7l.q  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] g@J{LY  
gP_}h?4$H  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] SMrMYzs#i  
a+)~]_!i  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) A91h3^%1]  
@?v}-o]#|  
　　上述两式相比可得 #T`;PcAJ2  
laO/|^~  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) G$=M{p  
c39.[$$C  
半角公式 #2tt^'6 h  
8W@%)h_\  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); Bm) Q#m  
pg fn  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. {}C+h61LD  
rKe>=W  
和差化积 %dngyL'DB'  
qg:TeO{t  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] \l R /UG  
!-`tsO[M  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 7c':.72d  
TC Y\Hf  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] $ t;t/Cn6  
[Lg(zG*mr[  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] \*1CYcfPK  
ul!r4s*9  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) q4 9A[  
%'RJ./iZ!  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) /zI%2)98  
}qX<-WSU  
积化和差 hWC!@{  
v"J@f"I`  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] ; >'9!d*  
4Dui>1D#  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] k0 i{W  
'"MS d;A  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 6l\(D_#  
f"S ?,RGu'  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ] )_tH^<  
F{88 o_h  
诱导公式 !r3JrkP  
\h&@b%4B=  
　　sin(-α) = -sinα xn(>Yv  
Zc!*i9<-  
　　cos(-α) = cosα MEf%X%F7  
'X@   
　　sin(π/2-α) = cosα JwBi|;777  
"ZiI`-g%  
　　cos(π/2-α) = sinα hnR^@CA@s  
>bz0(' t:  
　　sin(π/2+α) = cosα [@7&c(]vJ{  
b7?eNc[2  
　　cos(π/2+α) = -sinα ;lbp[;uK  
{2i8&]R_5  
　　sin(π-α) = sinα gE"UbgAm`  
>k `jf:.  
　　cos(π-α) = -cosα F$OPi:i>P  
Z4]-M2ml  
　　sin(π+α) = -sinα 21{g~/~_V  
&5./r(>j  
　　cos(π+α) = -cosα gQr:d  
d/'{s5qe}  
　　tanA= sinA/cosA Q lV*\`  
ukfs.xz6  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα ABYVYT/%I$  
s\(^3sM  
　　tan（π/2－α）＝cotα qSnQZYs^Sw  
\Jfj!gZ*  
　　tan（π－α）＝－tanα 29nQmI=8  
.5c0ucDc  
　　tan（π＋α）＝tanα j~,pG\En8  
'WHZTG^L  
万能公式 ;N=BwVsp  
tj$"  
　　 {L ,WW  
!Ag|I%Oq  
其它公式 8;(T_VA  
Y9v)c]>(x  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 h-<P2,H4  
uC-,G|K=k  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 kme{3* `t  
}N* (+mA  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 Rs$_K":@|  
wB|c}L  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 n,wfKt>a  
cn&=jF\dO  
　　对于任意非直角三角形,总有 C7iG\ZUz  
:[Vd4Dd4%  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC kK){RLwr  
>"5Fs_/u  
　　证: RO 8:Ay S  
cS qhJ7wy  
　　A+B=π-C >,xLK|  
X5L"\<]g  
　　tan(A+B)=tan(π-C) IkuT(g  
9 M2` SI!  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) Z5A ]xo(  
'GNedK9v`  
　　整理可得 %LgOu>[syA  
oFO J<q  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ~ ;mC:+  
I,>BUI.!E  
　　得证 `s+R\cGn  
.: tB  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ?@?]F7  
}M|<:OY  
其他非重点三角函数 >-,R&}   
#v | 5O  
　　csc(a) = 1/sin(a) 8@T:*{Ax  
 ,__L-0u  
　　sec(a) = 1/cos(a) \ISZ OQv  
][,{Z  
　　 X<QIt`^  
/8t2C[0u+  
双曲函数 Q:xhHUq  
X3VaKwu7t  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 %[x@ysw  
/:pz5 ZMk  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 QCg ;0p^b  
##g2\2  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) RN4>QsSe  
fs9gO@"  
　　公式一： g5' ,t'=  
l_]K5U>  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： q[w8Ty  
$#+gRL  
　　sin（2kπ＋α）= sinα $[N)A<#%l  
X I  
　　cos（2kπ＋α）= cosα p+e \'A  
1 =?`m  
　　tan（kπ＋α）= tanα S,J'~U\]"  
_ [Tby~x  
　　cot（kπ＋α）= cotα ueJe3^fC  
i'. qu1u  
　　公式二： ,1cMHj5  
1v)(aC@m  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： NU"hJs"$  
i){U_R0  
　　sin（π＋α）= -sinα EvuUD?Xg2  
`"aT{  
　　cos（π＋α）= -cosα 30R1 5z  
N@@.T)5$  
　　tan（π＋α）= tanα ,\bf4[  
Fg4;g  
　　cot（π＋α）= cotα RegaQZJ[  
TQ\03HE1  
　　公式三： >6Blzi3*  
YPX\EUR'  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： z&XM]ydId  
n_ .oQ  
　　sin（-α）= -sinα ,98;]1S;c^  
_P8"SyC  
　　cos（-α）= cosα =J%N_  
xLm/Z2,  
　　tan（-α）= -tanα TxWnsy)~  
6'eF$Eo/  
　　cot（-α）= -cotα gik<<  
n eY>p  
　　公式四： e}0 ./p  
BG& g=,0  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： I<}Bn  
2C97:)`g/i  
　　sin（π-α）= sinα z^=]7  
,g>]&1 }  
　　cos（π-α）= -cosα B[f^:.!r  
o7g-Ac3S  
　　tan（π-α）= -tanα ,oHrLn4<  
7T q4d#c  
　　cot（π-α）= -cotα FB@D/mZ  
>avT@p1  
　　公式五： 1<"+r~G  
99*Wt>K  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： 0 I<Rn]|  
k_9)ig<m  
　　sin（2π-α）= -sinα `9^7x o-  
#0[5*W{#/h  
　　cos（2π-α）= cosα X<bsH8uE|  
 fMZqz%  
　　tan（2π-α）= -tanα gfw!?gf;  
IzlWkl,  
　　cot（2π-α）= -cotα P7@m0f4jk  
S8S@a^be+  
　　公式六： nbo*z.k  
lya .  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： yaX3d  
it[<|7  
　　sin（π/2+α）= cosα I-Q] C   
9f1Ew.[Lv  
　　cos（π/2+α）= -sinα >*)<RB@kN  
N;jx3`z  
　　tan（π/2+α）= -cotα :[mtCn  
0TP\WA  
　　cot（π/2+α）= -tanα Pbsd'j0Ol  
/INhL1(oU  
　　sin（π/2-α）= cosα y \@h?:  
e0GYcf=r|  
　　cos（π/2-α）= sinα DGvEjJce  
z[PnsQs?(  
　　tan（π/2-α）= cotα fw mug>/_  
"smS=YQp/  
　　cot（π/2-α）= tanα Ht$SA  
T_l^-0VV  
　　sin（3π/2+α）= -cosα PqEbB  
9Pe_m I?<q  
　　cos（3π/2+α）= sinα yX&?oP4d  
\ )*;RB  
　　tan（3π/2+α）= -cotα ,g}J^L-$  
O|-4+  
　　cot（3π/2+α）= -tanα DBvf/J  
J"*=yOZb  
　　sin（3π/2-α）= -cosα 8 SX 9[ e  
gYvx.t%!+  
　　cos（3π/2-α）= -sinα /8 uOw&  
.+9K{H`  
　　tan（3π/2-α）= cotα aNXEAY=e  
M/'SpJFwq  
　　cot（3π/2-α）= tanα KV2I`$l  
'@:k7"J~  
　　(以上k∈Z) zT>+g:.:  
r]^&N$t,:$  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ]cNp"W }(  
.GouY[s  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = |x2kx/  
o~#Syf568  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } D*#c:H2  
yQC<(wo  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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