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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 ?1asgW  
B(%_e/z  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 6L=[J2rR  
9F< (#  
　　1、三角函数本质： 7 1eHl25  
WINW;wM5  
　　三角函数的本质来源于定义 @,`VMl'  
0GB52#g  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 (nKz1gRd?"  
puvH/=[  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 CF0x%fDe  
x^|ooR>w  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： !OoxCd4  
iF<N[}  
　　推导： U>]`R)#  
7/3 U1r  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 pmCg$ooFW  
a(oW?mBos  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) cbH(D,[y  
<1ipU|eH?  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) }C>[tGdF)  
o"W63OgL`  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 t^UxP>2  
8MIty?w\  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） X]OlP  
ig}]>3Aw  
　　[1] }|]}Lj  
]Er}nhL7Q#  
　　两角和公式 n/ykaLf  
wl`z6-N.5  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB %CEl{D O  
)J;\}nW  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  :}F<0!"d  
i7"_b)}@  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB sXb=J% qX  
|J.G$o+  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB :=+e6cq  
m'")= O  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) =K?Y@( JV  
K-B5/o-L  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) -Kbh.c  
A=I$t+ll  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  [~y U=(  
3_)Cs;oP y  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) @eYs G3M;  
jZA6o9,_  
倍角公式 >1fjLbOiC  
wh'TLbC  
　　Sin2A=2SinA•CosA /u;l00i6  
~#{CWb D{]  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 -9 /VM  
gZ.Krm.Ks  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） `G:~G_O;#m  
xNK2Bf  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） yd}#-~{OG{  
&.^+sQ0^  
三倍角公式 p:}~j6eY  
#_=fX 3  
　　 D=~ m0  
n}L4wt?N  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) ZXuY" }  
6{K3EXm]H  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) Evv7 2ty  
x sd{m0B]8  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) ~C}X)7<  
xXG?[`,Q  
三倍角公式推导 eY 5ba  
|C:g2@rc[  
　　sin3a * $mfv;  
{Th!8Ef &  
　　=sin(2a+a) pSvLg+3q@  
2]0HUN  
　　=sin2acosa+cos2asina  ]f=4 )  
*JxJfHV-Bd  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ^]Q1?K  
*eJXqZ5o3  
　　=3sina-4sin³a 4?r\U17,`\  
Ld( Ws)`U  
　　cos3a [c%6iO=  
X G*,YSSZ  
　　=cos(2a+a) g#_oTe%  
+C-*lH  
　　=cos2acosa-sin2asina  qYi!P  
q;AmF   
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa p\w`LjF;  
Kr8mcz$  
　　=4cos³a-3cosa kI)*>w/95  
l-1Uz  
　　sin3a=3sina-4sin³a 2xI\>PYi^~  
6{Y}uqx3X^  
　　=4sina(3/4-sin²a) ^%Z'NF,T%X  
CiV*vJs%  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] )vM-$\c  
Fo5Nut-^?  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) s/r;BWS^i  
)H2[bL*  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) (:,JWsP5#t  
NKIS3:C  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] -f7QJgyz  
OI 7~b?  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) @+oj2+F{  
.(0J ]<+  
　　cos3a=4cos³a-3cosa }h[F$>G'  
WD0-A;-  
　　=4cosa(cos²a-3/4) -a~0>f  
) VUjgG  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] }* 56w`  
_5J} pQ  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) *I#Kia   
sNX`xN+  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) To- qa}vCp  
$"hr@(t  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} \6|__9f pb  
5Q6t2x1Er  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) Roi?Wn&  
- qH+]*  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] i~0 6U  
a^ N zg&  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] JFv9+2Eq  
mDbvo]d  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) n0``ew_  
7dtd0l*  
　　上述两式相比可得 vIg2^,,BU  
8m.:o kj  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) Z:\2y7P=$%  
h%T=UW:B^  
半角公式 }W" w<  
|h;k}|I  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ! (bj ^u7  
D*ubi\  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. xcx!bCubM  
2u-uX U  
和差化积 n)_f8]R(8  
6 iJ\3<Y  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ?\e74F$,  
FIiECvN~J  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] {&8b2gM  
at{NI$  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] C^|"A8h  
v& _run7Ns  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] U BP6 !<  
SL Y8yV6A  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 7+W7-o  
`p)Fg3Fk7L  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) UJX&rEh  
Ye.7=pgFk~  
积化和差 wplZZ1m  
<foz?kP\6  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] Dj._Xb  
B/lxQr;  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 9NjKvC  
9k P)D~)O  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] yC1ss97J  
v-}&e  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] uePJ{s{c'  
"8C7YJaA/[  
诱导公式 DgZ & #;}  
[M(l@ 5\@  
　　sin(-α) = -sinα <!9%gP  
a"!lDl^  
　　cos(-α) = cosα ta1c59GD'Y  
x&F]&g,  
　　sin(π/2-α) = cosα !}~{JBi  
G#jEkN4jh:  
　　cos(π/2-α) = sinα .3u.W;ZA+  
fL~ "0uWk@  
　　sin(π/2+α) = cosα "v&T+@#{  
W;WwP  
　　cos(π/2+α) = -sinα *}p?U $SF  
Fm{R_6  
　　sin(π-α) = sinα  xu "f]~  
sxxb+ j%#  
　　cos(π-α) = -cosα !yzpq/L  
>H%@YV|V  
　　sin(π+α) = -sinα |U]+L %  
:#K#&s]Y  
　　cos(π+α) = -cosα zE";Bon'(  
Y29seZvQC  
　　tanA= sinA/cosA ?{Q C:^!  
[%oQtd  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα QnM~){_'?  
@Q|#g4W5  
　　tan（π/2－α）＝cotα D3+$Y  
`AaEd V[  
　　tan（π－α）＝－tanα yDh7NoS(`  
@KFMX)r  
　　tan（π＋α）＝tanα *yVj<  
{]v]G*K(q  
万能公式 N*bptN%=z  
Kv@<T,P  
　　 >[`F,1lx  
 `Gpx!  
其它公式 BC:"0"(  
7#_1XsR/  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 ^%Z~5|x  
S%q&r|[w  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 E/ i !e  
[n`To  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 R=0ZqGp  
uAtP@6%R9  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 >S@U DWF  
++o0+oN  
　　对于任意非直角三角形,总有 b:x<U&  
u8?FF`M  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC K74j-)ai  
%|k:8$qk*  
　　证: ud |-/[  
.0%;n+l]  
　　A+B=π-C ][\dx&  
H]r%XxF]f  
　　tan(A+B)=tan(π-C) oMmD]`/D  
gJ!]Z'yRn#  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) M1jP<P  
(OC^/GW  
　　整理可得 G^c$ CT<  
CYY($o  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 29]hj{}L  
7`Y4NK 3o  
　　得证 ]_99c0  
``Ui}g;<  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ^is1FTzAn  
9Z-?)w!  
其他非重点三角函数 TF-udzyL  
7y _\ctJ  
　　csc(a) = 1/sin(a) j i24HEkJ  
>)o6>J  
　　sec(a) = 1/cos(a) n^=GT#D  
|%1C2g\<  
　　 Bl.<@Zr  
|>Z&Lj  
双曲函数 C2. 6bg  
}o>42l5~  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 $ trg6]  
F5}q>pT  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 - TJ.=5  
$vE/s|  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) 2`R'Y!T  
T$2vs2?Z  
　　公式一： q6:tr.7Q  
bgm[[Y)V  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： Fq34|  
Mf`c\(q  
　　sin（2kπ＋α）= sinα 4#w 0+ _  
C|o>xVa9  
　　cos（2kπ＋α）= cosα Q^yM%G4_  
& -F??1A  
　　tan（kπ＋α）= tanα <: Tk"0\)  
D%~uFVt,  
　　cot（kπ＋α）= cotα .+O3E.3  
_  gFa1  
　　公式二： V1l5Y-"T  
[9 l;PG6  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： $kx Dv4  
wZ<{&Fcv  
　　sin（π＋α）= -sinα $vh/H{I),  
N ax*8Xsx  
　　cos（π＋α）= -cosα >!'9\iRZ  
zHye)(t@5  
　　tan（π＋α）= tanα i;]eOZKN  
Xw+(#I  
　　cot（π＋α）= cotα U L$a@dXR  
wu2p?]-  
　　公式三： k6Xi^i9DtU  
t`&gsmTfo  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： F|J Y6n3  
&CF;;)o\  
　　sin（-α）= -sinα pe'sQB5  
6j#ug,'  
　　cos（-α）= cosα DW<d<C)  
S p<Ue~  
　　tan（-α）= -tanα :0Ft5Zt4  
1k(VR3!,  
　　cot（-α）= -cotα WS; <9(  
WRxB){5 =  
　　公式四： C3TEd"T9e^  
wa~:!e*1  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： )*ie#u-s  
x&vC6AC_  
　　sin（π-α）= sinα V65^mpr<  
+oXy1 0  
　　cos（π-α）= -cosα w^]c/$4)  
N6u *##P6  
　　tan（π-α）= -tanα ^ "2Culqto  
U?Wo(vK*3  
　　cot（π-α）= -cotα \= `3  
FCXuBvs#  
　　公式五： ] Z!_HP  
N'8=Qw3  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： fMo+I. M  
jI,Xjfo,  
　　sin（2π-α）= -sinα uiG802~  
GRa3cK-l  
　　cos（2π-α）= cosα <UQ$8W?,  
{\C_71R!o  
　　tan（2π-α）= -tanα g$y12_~V}4  
fZN DR1T  
　　cot（2π-α）= -cotα e))Qp 3U  
5CSr(qcl6  
　　公式六： l ':,]  
fk3nN  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： ${z0=D&  
Rc\LSAn  
　　sin（π/2+α）= cosα &S1d0_J  
/54N&.Ho  
　　cos（π/2+α）= -sinα S}wDMtB  
15Gs3] Tm  
　　tan（π/2+α）= -cotα &8oc|  
6uG7k3\skk  
　　cot（π/2+α）= -tanα /N-!yx  
C5?bq>$5  
　　sin（π/2-α）= cosα cr6 oT5  
9dbz#$4>  
　　cos（π/2-α）= sinα G^E w} .W  
F$"MO(Hgq  
　　tan（π/2-α）= cotα uSV3UY  
_4sa|FD4c  
　　cot（π/2-α）= tanα -Swh5bqp  
*ot ]=  
　　sin（3π/2+α）= -cosα ' o^C  
N0+m qA;(  
　　cos（3π/2+α）= sinα *fa<ARd   
l4oNoBE)e  
　　tan（3π/2+α）= -cotα 0n4 2ZV$  
}DyT|v8a  
　　cot（3π/2+α）= -tanα gJO>[%Yen  
Jq=G>FuI  
　　sin（3π/2-α）= -cosα <`b3K3"NO  
s^ Mov,'  
　　cos（3π/2-α）= -sinα AGd;=\pPw  
hw^"KMY~&  
　　tan（3π/2-α）= cotα Ml[OlED=  
^~ tz,/n  
　　cot（3π/2-α）= tanα i.IBHY"cyL  
~o4zH 0  
　　(以上k∈Z) j6p(<DT3  
^l(cp^ 1=  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 9mG#1`8^T  
JoG~d{G"'  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = $O*P  
a( }C@^M*  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } z81F Gt&!  
W;FNV  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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